父母落户上海后，其持有的居住证将根据实际情况进行相应处理。通常情况下，一旦父母通过投靠子女、人才引进或其他合法途径成功落户上海，取得上海市常住户口（即“户口簿”登记为本市户籍），原有的《上海市居住证》将自动失效，不再需要继续持有或续签。

上海居住证主要面向非本市户籍人员，用于享受基本公共服务，如子女教育、社保、购房资格等。一旦获得本地户籍，居民即可凭身份证和户口簿直接享受本市市民同等的公共服务与待遇，因此居住证的功能被户籍身份所替代。

需要注意的是，在办理落户手续期间，若父母仍处于审批或过渡阶段，原有居住证在有效期内可继续使用。待公安部门完成户口迁移并发放新的户口簿后，应主动至社区事务受理服务中心注销原居住证信息，避免证件状态异常。

此外，对于曾持有积分制居住证的家庭，落户后积分记录也将停止累计，相关权益（如子女中高考报考资格）将按沪籍考生政策执行。

总之，父母成功落户上海后，居住证即失去存在意义，应及时办理注销手续，转为享受本地户籍带来的各项便利。建议在完成落户后，前往所在街道的社区事务受理中心咨询具体后续事项，确保所有证件和信息更新到位。整个过程一般简便快捷，工作人员会提供相应指导。