根据上海市现行户籍政策，儿子落户上海后，其父母并不能直接因此获得上海户口或居住证。子女落户上海通常基于人才引进、留学回国、投靠亲属等特定条件，但父母的居住权益需另行申请。

若父母希望在上海长期居住，可依法申请《上海市居住证》。办理居住证的基本条件包括：年满18周岁，具有合法稳定住所，且在上海有合法稳定就业或连续就读。申请人需提供身份证、居住证明（如租房合同、房产证）、就业或就读证明等材料，到实际居住地的社区事务受理服务中心办理。

持有上海市居住证后，父母可享受基本公共服务，如社会保险、教育、公共卫生等。若满足积分条件（目前需达到120分），还可享受更多权益，如子女在沪就读义务教育学校、报考部分职业资格考试等。积分可通过学历、职称、社保缴纳年限、住房情况等项目累计。

需要注意的是，即使子女已拥有上海户口，父母也无法通过“投靠子女”方式直接落户。目前上海的投靠政策较为严格，仅限配偶、未成年子女或年满60周岁在沪无子女的老人等特殊情形。普通情况下，父母无法因子女落户而迁移户口。

若父母长期在上海居住并符合相关条件，可考虑通过“居转户”政策申请上海户口，即持有居住证满7年，按规定参加社保满7年，依法纳税，且符合中级以上职称或7年内缴纳社保基数达到一定标准，经审核后可申请转为常住户口。

总之，儿子落户上海不自动赋予父母居住证或户口资格。父母需根据自身情况，依法申请居住证，并逐步积累条件争取更高权益。建议关注上海市公安局、人社局及“一网通办”平台发布的最新政策，确保信息准确。